Statistika


STATISTIKA


Statistika adalah cabang dari matematika yang mempelajari cara mengumpulkan data, menyusun data, menyajikan data, mengolah dan menganalisis data, menarik kesimpulan, dan menafsirkan parameter.
Kegiatan Statistika meliputi:

1. Mengumpulkan data
2. Menyusun data
3. Menyajikan data
4. Mengolah dan Menganalisis data
5. Menarik kesimpulan
6. Menafsirkan


  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

Fakta Unik


 Wanita paling gemuk dengan berat 320 Kg 


Seorang perempuan bernama Terri Smith, 49 tahun tidak mampu bergerak, berdiri ataupun  berguling.karena beratnya yang mencapai 320 kg.  dari sejak usia 7 tahun berat badan Terry telah mencapai 70 Kg.  pada usia 20 tahun berat badan Terry 120 kg.

Pada usia 32 ia menderita arthritis parah di lututnya dan tidak mampu untuk berjalan lebih dari beberapa langkah. Dia juga menderita sakit kepala parah dan dan membutuhkan MRI scan untuk memeriksa apakah  mungkin akan berpotensi timbulnya tumor otak . Sayangnya dia tidak bisa melakukan hal itu karena badannya terlalu besar untuk masuk ke dalam scanner atau untuk melewati pintu-pintu rumah sakit.

Terakhir,  Smith diberi kursi roda listrik agar dia dapat bergerak dan berkeliling. Namun karena   kurangnya latihan fisik, dan tidak bisa merubah pola makan, akhirnya berat badannya terus beertambah  yang menyebabkan Terry tidak bisa berdiri. Untuk terus menopang kesehatannya maka Terry harus terus minum obat yang mengakibatkan berat badannya bertambah 41 kg dalam 30 hari. Dan Terry menjadi pemegang rekor dunia sebagai perempuan tergemuk di dunia.


  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

Sejarah Matematika di dunia


Sejarah Awal Adanya Pelajaran Matematika di Dunia- Matematika adalah bidang abstrak pengetahuan yang dibangun dengan bantuan penalaran logis pada konsep-konsep seperti angka, angka, struktur dan transformasi.

Menurut Berggren, JL, 2004, penemuan matematika pada jaman Mesopotamia dan Mesir Kuno, didasarkan pada banyak dokumen asli yang masih ada ditulis oleh juru tulis. Meskipun dokumen-dokumen yang berupa artefak tidak terlalu banyak, tetapi mereka dianggap mampu mengungkapkan matematika pada jaman tersebut. Artefak matematika yang ditemukan menunjukkan bahwa bangsa Mesopotamia telah memiliki banyak pengetahuan matematika yang luar biasa, meskipun matematika mereka masih primitif dan belum disusun secara deduktif seperti sekarang. Matematika pada jaman Mesir Kuno dapat dipelajari dari artefak yang ditemukan yang kemudian disebut sebagai Papyrus Rhind (diedit pertama kalinya pada 1877), telah memberikan gambaran bagaimana matematika di Mesir kuno telah berkembang pesat. Artefak-artefak berkaitan dengan matematika yang ditemukan berkaitan dengan daerah-daerah kerajaan seperti kerajaan Sumeria 3000 SM, Akkadia dan Babylonia rezim (2000 SM), dan kerajaan Asyur (1000 SM), Persia (abad 6-4 SM), dan Yunani (abad ke 3 - 1 SM).
Sejarah Awal Adanya Pelajaran Matematika di Dunia
Pelajaran Matematika

Pada jaman Yunani kuno paling tidak tercatat matematikawan penting yaitu Thales dan Pythagoras. Thales dan Pythagoras mempelopori pemikiran dalam bidang Geometri, tetapi Pythagoraslah yang memulai melakukan atau membuat bukti-bukti matematika. Sampai masa pemerintahan Alexander Agung dari Yunani dan sesudahnya, telah tercatat Karya monumental dari Euclides berupa karya buku yang berjudul Element (unsur-unsur) yang merupakan buku Geometri pertama yang disusun secara deduksi. Risalah penting dari periode awal matematika Islam banyak yang hilang, sehingga ada pertanyaan yang belum terjawab masih banyak tentang hubungan antara matematika Islam awal dan matematika dari Yunani dan India. Selain itu, jumlah jumlah dokumen yang relatif sedikit menyebabkan kita mengalami kesulitan untuk menelusuri sejauh mana peran matematikawan Islam dalam pengembangan matematika di Eropa selanjutnya. Tetapi yang jelas, sumbangan matematikawan Islam cukup besar bersamaan dengan kebangkitan pemikiran modern yang muncul himpunanelah jaman kegelapan sampai sekitar abad ke 15 himpunanelah masehi.

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

Limit Fungsi


imit Fungsi Aljabar Matematika    SMA  & SMK


http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/limit-fungsi-aljabar.html
Limit fungsi aljabar - Limit fungsi adalah suatu nilai pendekatan disekitar titik tertentu baik pendekatan dari kiri suatu titik maupun pendekatan dari kanan titik tersebut (Dedi Heryadi, 2007). Secara umum didefinisikan sebagai berikut:
lim x mendekati n f(x) = A, jika dan hanya jika x mendekati n , x≠ n    maka maka f(x) mendekati nilai A.

Cara menghitung Limit Fungsi aljabar

Ada beberapa cara untuk menghitung nilai limit fungsi aljabar, yaitu:
  • Dengan subtitusi langsung

  • Dengan pemfaktoran

  • Dengan dalil L’hospital

  • Mengalikan dengan akar sekawan atau faktor lawan

  • Membagi dengan pangkat tertinggi

Kelima teknik menghitung nilai limit fungsi aljabar diatas didasarkan pada “kondisi tertentu”, artinya teknik mana yang paling mudah dan tepat untuk digunakan bergantung pada kondisi soalnya . Oleh karena itu perlu analisa dan pemahaman yang baik dalam menggunakan kelima cara  diatas, berikut ini akan dibahas satu-persatu teknik atau metode tersebut.

Menghitung Nilai Limit fungsi aljabar dengan substitusi langsung        

Menghitung nilai limit fungsi dengan subtitusi langsung dapat dilakukan dengan syarat pada            perhitungan dengan subtitusi langsung tidak diperoleh bentuk tak tentu seperti 0/0, ∞ /∞ , ∞ -∞ bentuk-bentuk seperti ini disebut bentuk tak tentu. Jika dengan subtitusi langsung diperoleh bentu tak tentu maka penghitungan nilai limit fungsi aljabar menggunakan cara lain.

Contoh soal menghitung limit fungsi aljabar dengan subtitusi langsung

Hitunglah nilai limit setiap fungsi berikut:








Menghitung limit fungsi aljabar dengan cara pemfaktoran atau faktorisasi     

Jika dengan cara subtitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu 0/0 atau
maka perhitungan nilai limit dilakukan dengan cara memfaktorkan jika belum paham pelajari dahulu ya, materi pemfaktoran. Perhatikan contoh-contoh berikut ini,

Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini:




[penyelesaian]
Dengan subtitusi langsung akan diperoleh ,



diperoleh bentuk tak tentu maka dilakukan dengan cara memfaktorkan,
























Gunakan rumus selisih dua kubik untuk memfaktorkan pembilang,










 

 

 

 

 

 

 

 Limit fungsi aljabar bentuk akar         

Dalam menghitung nilai limit fungsi aljabar terkadang kita jumpai bentuk akar, maka cara menyelesaikannya adalah dengan mengalikan akar sekawan . Perhatikan contoh-contoh soal berikut ini,

Hitunglah nilai limit fungsi dibawah ini:




[Penyelesaian]
Dengan subtitusi langsung ,



diperoleh bentuk tak tentu, maka harus menggunakan cara lain yaitu mengalikan dengan akar sekawan.










Supaya lebih jelas perhatikan kembali soal No 2 berikut ini,



[Penyelesaian]
Subtitusi langsung akan menghasilkan 0/0, maka:










Limit Fungsi Bentuk Tak Tentu Untuk x Mendekati  Tak berhingga      


Dalam bahasa matematika untuk menyatakan suatu keadaan atau kondisi yang nilai dan besarnya tidak dapat ditentukan digunakan lambang  ∞  (dibacanya tak berhingga). Soal-soal limit fungsi aljabar dengan variabel atau peubah x mendekati tak berhingga, biasanya sering dijumpai dalam bentuk umum seperti dibawah ini:

Bentuk umum limit fungsi aljabar x mendekati tak berhingga adalah,


Jika menggunakan metode subtitusi langsung akan diperoleh bentuk tak tentu   atau ∞ - ∞. Maka cara menghitung nilai limit fungsi aljabar untuk x mendekati tak berhingga menggunakan cara-cara sebagai berikut:

  • Membagi dengan pangkat tertinggi

  • Mengalikan dengan sekawan atau faktor lawan

Nah, sekarang kita bahas satu persatu ya...

Limit fungsi Aljabar - Membagi dengan pangkat tertinggi


Menghitung nilai  lim x → ∞ f(x)/g(x) dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan x^n, dengan n adalah pangkat tertinggi dari f(x) ataupun g(x). Tapi sebelumnya catat terlebih dahulu rumus dibawah ini :


Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini!





[Penyelesaian]
Perhatikan f(x) dan g(x) mempunyai pangkat tertinggi yaitu 1, maka pembilang dan penyebut masing-masing dibagi x, maka 


 




[Penyelesaian]

Perhatikan f(x) dan g(x) mempunyai pangkat tertinggi yaitu 3, maka pembilang dan penyebut masing-masing dibagi  , maka










Perhatikan kembali contoh No 3 dibawah ini:





[Penyelesaian]

Perhatikan f(x) dan g(x) mempunyai pangkat tertinggi yaitu 4, maka pembilang dan penyebut masing-masing dibagi , maka










Dari contoh-contoh diatas ada rumus cepat menghitung nilai limit fungsi aljabarbentuk  
, yaitu:


1.Jika pangkat tertinggi f(x) sama dengan pangkat tertinggi g(x)




2. Jika pangkat tertinggi f(x) >  pangkat tertinggi g(x)







3. Jika pangkat tertinggi f(x) <  pangkat tertinggi g(x)

 





Sekarang rumus-rumus diatas akan dipakai untuk menyelesaikan contoh soal limit fungsi aljabar berikut ini,


Hitunglah nilai setiap limit fungsi dibawah ini!








[Penyelesaian]

Dari soal diatas, pangkat tertinggi f(x) =   pangkat tertinggi g(x) yaitu pangkat 3 maka memenuhi (1) jadi







Contoh No 2 ini jika pangkat tertinggi f(x) >   pangkat tertinggi g(x):




[Penyelesaian]
Dari soal diatas, pangkat tertinggi f(x) >   pangkat tertinggi g(x) memenuhi (2) jadi




Kalau soal No 3 ini pangkat tertinggi f(x) <   pangkat tertinggi g(x) 




[Penyelesaian]
Dari soal diatas, pangkat tertinggi f(x) <   pangkat tertinggi g(x) memenuhi (3) jadi




Limit fungsi Aljabar – Mengalikan dengan faktor lawan/ sekawan



Cara mengalikan dengan faktor lawan biasanya limit fungsi aljabar nya berbentuk


Agar lebih jelas perhatikan contoh soal dibawah ini!



Hitunglah nilai limit  fungsi berikut:





[Penyelesaian]
















Selain cara menggunakan cara mengalikan dengan faktor lawan atau kalikan sekawan ada atau cara lain menghitung nilai limit fungsi aljabar bentuk lim x → ∞ √ f(x)- √ g(x)} yaitu dengan syarat f(x) dan g(x) merupakan fungsi kuadrat , rumus nya adalah :


Rumus cepat :


Perhatikan contoh dibawah ini !


[penyelesaian]
 

b = -2 ; d = 3 dan a = 4 , Gunakan rumus cepat diatas!





Relatif mudah bukan? yang terpenting adalah kalian harus dapat menerapkan cara-cara dan teknik yang tepat dalam menghitung 

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS